Question

18．設不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x-y-6≤0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)y=log_ax（a＞0且a≠1）的圖象上存在區(qū)域D上的點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用函數(shù)y=log_ax（a＞0且a≠1）的圖象特征，結(jié)合區(qū)域的角上的點即可解決問題．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
若0＜a＜1，則由圖象可知點B在對數(shù)函數(shù)的圖象或圖象的下面，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即B（4，-2），
此時滿足log_a4≥-2，
解得0＜a≤$\frac{1}{2}$．
若a＞1，當A在對數(shù)函數(shù)的圖象或圖象的上方時，滿足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x+3y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），
此時滿足log_a3≤1，解得a≥3，
綜上0＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]∪[3，+∞）．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．