Question

9．設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，則點D₁到平面A₁BD的距離是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)點D₁到平面A₁BD的距離是h，由${V}_{{D}_{1}-{A}_{1}BD}$=${V}_{B-{A}_{1}D{D}_{1}}$，可得$\frac{1}{3}h•{S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}D}$•AB，即可得出．

解答 解：如圖所示，△A₁BD是邊長為2$\sqrt{2}$的等邊三角形，
∴${S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$$（2\sqrt{2}）^{2}$=$2\sqrt{3}$，
設(shè)點D₁到平面A₁BD的距離是h，
由${V}_{{D}_{1}-{A}_{1}BD}$=${V}_{B-{A}_{1}D{D}_{1}}$，可得$\frac{1}{3}h•{S}_{△{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}D}$•AB，
∴$\frac{1}{3}×h×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$，
解得h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了正方體的性質(zhì)、等邊三角形的面積計算公式、三棱錐的體積計算公式、“等積變形”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．