已知斜率為1的直線l與雙曲線C：（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）。
（1）求C的離心率；
（2）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|·|BF|=17，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切。
解：（1）由題設(shè)知，l的方程為y=x+2，代人C的方程，并化簡(jiǎn)，得
設(shè)
則  ①
由M（1，3）為BD的中點(diǎn)知
，故，即  ②
故
所以C的離心率；
（2）由①、②知，C的方程為3x2-y2=3a2，
A（a，0），F(xiàn)（2a，0），
故不妨設(shè)x1≤-a，x2≥a



又|BF|·|FD|=17
故5a2+4a+8=17
解得a=1或（舍去）
故

連結(jié)MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，從而MA=MB=MD，且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切，所以過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于BD兩點(diǎn)，BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|•|BF|=17，證明：過A、B、D的圓與x軸相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為1的直線l與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于B，D兩點(diǎn)，BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)C的右焦點(diǎn)為F，|DF|•|BF|≤17，求b2-a2取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為1的直線l與雙曲線x2-
y2
2
=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•宿州一模）已知斜率為1的直線l與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線g：x-y+9=0上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜率為1的直線l過橢圓
x24
+y2=1的右焦點(diǎn)F2．
（1）求直線l的方程；
（2）若l與橢圓交于點(diǎn)A、B 兩點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，求S△F1AB．

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