如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．
（1）由題意，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，∴b=
2
2
=
2
．
因為離心率e=
c
a
=
3
2
，所以
b
a
=
1
2
，所以a=2
2
．
所以橢圓C的方程為
x2
8
+
y2
2
=1．
（2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標分別為（x0，y0），（-x0，y0），則直線PM的方程為y=
y0-1
x0
x+1，①
直線QN的方程為y=
y0-2
-x0
x+2．②…（8分）
設(shè)T（x，y），聯(lián)立①②解得x0=
x
2y-3
，y0=
3y-4
2y-3
．…（11分）
因為
x02
8
+
y02
2
=1，所以
1
8
（
x
2y-3
）2+
1
2
（
3y-4
2y-3
）2=1．
整理得
x2
8
+
(3y-4)2
2
=（2y-3）2，所以
x2
8
+
9y2
2
-12y+8=4y2-12y+9，即
x2
8
+
y2
2
=1．
所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．…（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE與圓相切，求線段CE的長.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點M（
3
，0），橢圓
x2
4
+y2=1與直線y=k（x+
3
）交于點A、B，則△ABM的周長為（　�。�
A．4B．8C．12D．16

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點，B，D分別為橢圓的左右頂點，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點，直線AF1交y軸于點E，且點F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點C的坐標；
（2）設(shè)m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

雙曲線
x2
v
-
y2
圖6
=圖的右焦點是拋物線的焦點，則拋物線的標準方程是______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線l過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，且交拋物線于A，B兩點，交其準線于C點，已知|AF|=4，
CB
=3
BF
，則p=（　�。�
A．2B．
4
3
C．
8
3
D．4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，過右焦點F且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB|=
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+t（t≠0）與橢圓C相交于M，N兩點，直線AO平分線段MN，求△OMN的面積的最大值及此時直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-
1
2
，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知
1
m
+
2
n
=1(m＞0，n＞0)，當mn取得最小值時，直線y=-
2
x+2與曲線
x|x|
m
+
y|y|
n
=1交點個數(shù)為______．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案