Question

已知函數(shù)，其中.
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；（2）當(dāng) 時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．

試題分析：（1）若，求函數(shù)的極值，把代入得函數(shù)，求它的極值，首先求定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)，及兩邊導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而確定極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于含有指數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，因此先確定函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051054882293.png" style="vertical-align:middle;" />，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，解不等式即可，但由于含有參數(shù)，需對(duì)參數(shù)討論，分，，三種情況討論，從而確定出單調(diào)區(qū)間．
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051055303548.png" style="vertical-align:middle;" />，且.        1分
.           3分
令，得，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘	↘		↗

      5分
故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為．
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.                      6分
（2）因?yàn)?，所以 ，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051054882293.png" style="vertical-align:middle;" />，             7分
求導(dǎo)，得，  8分
令，得，，                            9分
當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↗		↘		↗

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，．  11分
當(dāng) 時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240510564111286.png" style="vertical-align:middle;" />，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，）
所以函數(shù)在單調(diào)遞增.                                     12分
當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↗		↘		↗

 
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，．
綜上，當(dāng) 時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．                     13分