Question

8．如圖，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F恰好是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且兩曲線的公共點(diǎn)連線AB過F，則雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得c⁴-6a²c²+a⁴=0等式兩邊同除以a⁴，得到關(guān)于離心率e的方程，進(jìn)而可求得e．

解答 解：由題意，∵兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F
∴兩條曲線交點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，p），即（c，p）
代入雙曲線方程得化簡得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1
故答案為$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評 本題考查由圓錐曲線的方程求焦點(diǎn)、考查雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²注意與橢圓的區(qū)別．