Question

4．設(shè)集合S={1，2，3，4，5，6，7}，從S的所有非空子集中，等可能地取出一個．
（I）設(shè)A⊆S，若x∈A，則8-X∈A，就稱子集A滿足性質(zhì)P，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)P的概率；
（II）所取出的非空子集的最大元素為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）基本事件總數(shù)為2⁷-1個，滿足條件的A的集合共有m=2⁴-1個，由此求出對應(yīng)概率值；
（2）依題意ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5，6，7；分別求出相應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）集合S={1，2，3，4，5，6，7}，S的所有非空子集共有2⁷-1=127；
設(shè)A⊆S，若x∈A，則8-X∈A，∵設(shè)A⊆S，若x∈A，則6-x∈A，
∴A的集合為：{1，7}，{2，6}，{3，5}，{4}，…，共有m=2⁴-1=15個，
∴所取出的非空子集滿足性質(zhì)p的概率P=$\frac{m}{n}$=$\frac{15}{127}$；
（Ⅱ）依題意，ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5，6，7；
則ξ=1時，只有{1}滿足條件，∴P（ξ=1）=$\frac{1}{127}$=$\frac{{2}^{0}}{127}$，
ξ=2時，有{2}，{1，2}2種，∴P（ξ=2）=$\frac{2}{127}$=$\frac{{2}^{1}}{127}$，
ξ=3時，有{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4種，P（ξ=3）=$\frac{4}{127}$=$\frac{{2}^{2}}{127}$，
…，P（ξ=4）=$\frac{{2}^{3}}{127}$=$\frac{8}{127}$，
P（ξ=5）=$\frac{{2}^{4}}{127}$=$\frac{16}{127}$，
P（ξ=6）=$\frac{{2}^{5}}{127}$=$\frac{32}{127}$，
P（ξ=7）=$\frac{{2}^{6}}{127}$=$\frac{64}{127}$；
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5	6	7
P	$\frac{1}{127}$	$\frac{2}{127}$	$\frac{4}{127}$	$\frac{8}{127}$	$\frac{16}{127}$	$\frac{32}{127}$	$\frac{64}{127}$

從而Eξ=1×$\frac{1}{127}$+2×$\frac{2}{127}$+3×$\frac{4}{127}$+4×$\frac{8}{127}$+5×$\frac{16}{127}$+6×$\frac{32}{127}$+7×$\frac{64}{127}$=$\frac{769}{127}$．

點評 本題考查等可能事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是綜合題．