Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a為實(shí)常數(shù)．
（1）若a＞0，設(shè)F(x)=

f(x)

g(x)

，x≠0，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求a的值所組成的集合．

Answer 1

分析：（1）用定義法證明先取任意的x₁＜x₂＜0，代入解析式作差，判斷差的符號(hào)，然后由定義得出結(jié)論．
（2）原方程為（x-a）²=|x|，先對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件結(jié)合圖象即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）F(x)=

x2-2ax+a2

x

=x+

a2

x

-2a，任取x₁，x₂∈[a，+∞），且x₁＜x₂，
則F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(

1

x2

-

1

x1

)=(x2-x1)•

x1x2-a2

x1x2

，…（3分）
因?yàn)?nbsp;a＞0，x₁≥a，x₂≥a且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a²，…（4分）
所以F（x₂）-F（x₁）＞0，所以函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)．…（6分）
（2）原方程為（x-a）²=|x|，
①當(dāng)a=0時(shí)，原方程變?yōu)閤²=|x|，有-1，0，1三個(gè)解；…（8分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=（x-a）²與y=|x|的圖象在x＜0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原方程在x＜0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，要使原方程在x＞0時(shí)恰有一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=（x-a）²與y=|x|的圖象在x＞0時(shí)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程（x-a）²=x的判別式等于0，即（2a+1）²-4a²=0，解得a=-

1

4

；…（10分）
③同理，當(dāng)a＞0時(shí)，原方程在x＞0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，要原方程在x＜0時(shí)恰有一個(gè)解，當(dāng)且僅當(dāng)方程（x-a）²=-x的判別式等于0，即（2a-1）²-4a²=0，
解得a=

1

4

．…（12分）
綜上，a的值所組成的集合為{-

1

4

，0，

1

4

}．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，利用定義法（作差法）證明單調(diào)性的步驟是：設(shè)元→作差→分解→斷號(hào)→結(jié)論．此題比較難，綜合考查了一元二次方程的根的定義，判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，同時(shí)也考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力要求比較高，所以平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練．