已知拋物線C：x2=2py過(guò)點(diǎn)P(1，
1
2
)，直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）∵P(1，
1
2
)在拋物線C上，∴1=2p•
1
2
，得p=1．…（3分）
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Q，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程為y=kx+b．
聯(lián)立
y=kx+b
x2=2y
得x2-2kx-2b=0，
當(dāng)△=4k2+8b＞0時(shí)，有x1+x2=2k，x1x2=-2b．…（6分）
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=-2b-2k+1（*）
由題意知，N（1，0），M（1，k+b），
因?yàn)椤鱌AM與△PBN的面積相等，所以
1
2
|PN|•|1-x2|=
1
2
|PM|•|1-x1|，
即|1-x2|=2|k+b-
1
2
|•|x1-1|，
也即|1-x2|=|2k+2b-1|•|x1-1|…（10分）
根據(jù)（*）式，得（x1-1）2=1，解得x1=0或x1=2．
所求的定點(diǎn)Q即為點(diǎn)A，
即l過(guò)Q（0，0）或Q（2，2）時(shí)，滿足條件．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|
F1Q
|=2a．點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（1）求證：|PQ|=|PF2|；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）若橢圓的離心率e=
3
2
，試判斷軌跡C上是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=b2，若存在，請(qǐng)求出∠F1MF2的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
4
+
y2
a2
=1與雙曲線
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是（　�。�
A．1B．-1C．±1D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過(guò)F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長(zhǎng)為4
5

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過(guò)橢圓E中心的任意弦，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，求△APB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點(diǎn)F2，點(diǎn)A是曲線C1，C2在第一象限的交點(diǎn)，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點(diǎn)P滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓N截得的弦長(zhǎng)的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y=x+2，與拋物線x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點(diǎn)，l與x軸交于點(diǎn)C（xC，0）．
（1）求證：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學(xué)利用TI-Nspire圖形計(jì)算器作圖驗(yàn)證結(jié)果時(shí)（如圖1所示），嘗試拖動(dòng)改變直線l與拋物線的方程，發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
與
1
xC
的結(jié)果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發(fā)現(xiàn)出關(guān)于拋物線的一般結(jié)論，并進(jìn)行證明嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)在橢圓C上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形AMBF2為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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