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（2013•資陽二模）橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，直線y=-
3
x與橢圓C交于A、B兩點，且AF⊥BF，則橢圓C的離心率為
3
-1
3
-1
．
分析：由
y=-
3
x
x2
a2
+
y2
b2
=1
可解得點A、B坐標，進而得到向量
AF
、
BF
的坐標，由AF⊥BF，得
AF
•
BF
=0，把b2=a2-c2代入該式整理后兩邊同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范圍．
解答：解：由
y=-
3
x
x2
a2
+
y2
b2
=1
，得（3a2+b2）x2=a2b2，解得x=±
ab
3a2+b2
，分別代入y=-
3
x得y=±
3
ab
3a2+b2
，
所以A（
ab
3a2+b2
，-
3
ab
3a2+b2
），B（-
ab
3a2+b2
，
3
ab
3a2+b2
），
則
AF
=(c-
ab
3a2+b2
，
3
ab
3a2+b2
)，
BF
=(c+
ab
3a2+b2
，-
3
ab
3a2+b2
)，
由AF⊥BF，得
AF
•
BF
=0，即c2-
a2b2
3a2+b2
-
3a2b2
3a2+b2
=0，即c2=
4a2b2
3a2+b2
（*），
把b2=a2-c2代入（*）式并整理得4a2c2-c4=4a2（a2-c2），
兩邊同除以a4并整理得e4-8e2+4=0，解得e2=4+2
3
，
所以e=
3
-1，
故答案為：
3
-1．
點評：本題考查橢圓的簡單性質、直線與橢圓的位置關系，考查學生的運算能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•資陽二模）某部門對當地城鄉(xiāng)居民進行了主題為“你幸福嗎？”的幸福指數問卷調査，根據每份調查表得到每個調查對象的幸福指數評分值（百分制）．現從收到的調查表中隨機抽取20份進行統(tǒng)計，得到右圖所示的頻率分布表：
幸福指數評分值 頻數 頻率
[50，60] 1
（60，70] 6
（70，80]
（80，90] 3
（90，100] 2
（Ⅰ）請完成題目中的頻率分布表，并補全題目中的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）該部門將邀請被問卷調查的部分居民參加“幸福愿景”的座談會．在題中抽樣統(tǒng)計的這20人中，已知幸福指數評分值在區(qū)間（80，100]的5人中有2人被邀請參加座談，求其中幸福指數評分值在區(qū)間（80，90]的僅有1人被邀請的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•資陽二模）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且AF=
14
AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一個點G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，若存在，指出點G的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•資陽二模）雙曲線y2-4x2=64上一點P到它的一個焦點的距離等于1，則P到它的另一個焦點的距離等于為
17
17
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•資陽二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過（1，1）與（
6
2
，
3
2
）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB|．求證：
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•資陽二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，5}，則（?UA）∪B=（　�。�

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