Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角θ以x軸非負(fù)半軸為始邊，若終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），且|OP|=r（r＞0），定義sicosθ=$\frac{{x}_{0}+{y}_{0}}{r}$，稱(chēng)“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”．對(duì)于正余弦函數(shù)y=sicosx，有同學(xué)得到如下結(jié)論：
①該函數(shù)是偶函數(shù)；
②該函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（$\frac{3π}{4}$，0）；
③該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
④該函數(shù)的圖象與直線y=$\frac{3}{2}$沒(méi)有公共點(diǎn)；
以上結(jié)論中，所有正確的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)題目中的命題進(jìn)行分析判定即可．

解答 解：對(duì)于①，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，不是偶函數(shù)，錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)閥=sicosθ=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=0，
所以該函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱(chēng)，②正確；
對(duì)于③，因?yàn)閥=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），所以由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
可得2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，故錯(cuò)誤；
該函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$$\frac{3}{2}$，其圖象與直線y=$\frac{3}{2}$無(wú)公共點(diǎn)，④正確．
故答案為②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)y=sicosθ的表達(dá)式，是綜合性題目．