Question

(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
我們把定義在上，且滿足（其中常數(shù)滿足）的函數(shù)叫做似周期函數(shù)．
（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿足且圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．求證：函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，的解析式；
（3）對(duì)于確定的時(shí)，，試研究似周期函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004719044433.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以 又，  用代替得可知，
．即函數(shù)是偶函數(shù)；（2）；（3） ．

試題分析：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004719044433.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以， 又，用代替得可知，
．即函數(shù)是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，
；
（3）當(dāng)時(shí)，

顯然時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù) 
又時(shí)，是增函數(shù)，
此時(shí)
若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么它必須是增函數(shù)，則必有
，解得 ．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的基本性質(zhì)有單調(diào)性和奇偶性，它們是函數(shù)的兩個(gè)重要的性質(zhì)，在解決函數(shù)問(wèn)題中起著非常重要的作用，主要用于判斷函數(shù)單調(diào)性、求最值、求參數(shù)的取值范圍等