Question

（理）已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．n∈N*．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）通過(guò)對(duì)數(shù)列{T_n}的探究，寫(xiě)出“T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列”的一個(gè)真命題并說(shuō)明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．
說(shuō)明：對(duì)于第（3）題，將根據(jù)對(duì)問(wèn)題探究的完整性，給予不同的評(píng)分．

Answer 1

（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2．n∈N*…（4分）
（2）b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1）
∴∴；（8分）
（3）由（2）知，∴，
若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則即．…（10分）
以下（6分）按3個(gè)層次評(píng)分
第一層次滿(mǎn)分（3分）：
例如：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/142951.png' />，所以只有滿(mǎn)足的大于1的正整數(shù)m，才有可能使得成立 …（13分）
或者取具體數(shù)值探究如：
當(dāng)m=2時(shí)，=，n=16，符合題意；
當(dāng)m=3時(shí)，=，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m=4時(shí)，=，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m=5時(shí)，=，n無(wú)正整數(shù)解；
當(dāng)m=6時(shí)，=，n無(wú)正整數(shù)解； …（13分）
或者描述性說(shuō)明，如：
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/524432.png' />，，所以只有當(dāng)m取值較小時(shí)，才有可能使得成立 …（13分）
第二層次3+（2分）：
在第一層次的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，并明確指出：當(dāng)正整數(shù)m=2，n=16時(shí)，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．如：
不等式即3m²-6m-1＜0，解得，所以m=1（舍去），m=2．當(dāng)m=2時(shí)，=，n=16，符合題意；所以當(dāng)正整數(shù)m=2，n=16時(shí)，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．…（15分）
（注：）
或者如：當(dāng)m≥7時(shí)，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，則，而，所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．所以當(dāng)正整數(shù)m=2，n=16時(shí)，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．…（15分）
第三層次5+（1分）：
在前面探索的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出“T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列”的真命題：當(dāng)且僅當(dāng)正整數(shù)m=2，n=16時(shí)，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．…（16分）
（說(shuō)明：對(duì)問(wèn)題探究的完整性體現(xiàn)在過(guò)程中即可）
分析：（1）由已知，利用通項(xiàng)公式，列出關(guān)于a₁，d的關(guān)系式，并解即可．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上能得出，裂項(xiàng)后求和．
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義，應(yīng)有即．通過(guò)此二元方程解的情況去解決．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)法求和．不定方程解的判斷．考查分析解決問(wèn)題、計(jì)算能力．