Question

19．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若點P為BC的中點，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，則λ+μ=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為1，可以得到$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$的坐標表示，進而得到答案．

解答 解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標系如圖，
則B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
又∵P是BC的中點時，
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}λ-μ=1\\ μ=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{3}{2}\\ μ=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=2，
故選：B

點評 本題考查的知識點是向量在幾何中的應(yīng)用，向量加減的幾何意義，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．