Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{k}$，k≥2，k∈N^*，[a_n]表示不超過a_n的最大整數(shù)（如[1.6]=1），記b_n=[a_n]，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
①若數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，則T₄=6；
②若數(shù)列{a_n}是公比為k+1的等比數(shù)列，則T_n=$\frac{1}{{k}^{2}}$[（1+k）ⁿ-nk-1]．

Answer 1

分析 ①根據(jù)數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，寫出a_n的通項公式，求出b_n，計算它的前4項和T₄；
②根據(jù)數(shù)列{a_n}是公比為k+1的等比數(shù)列，寫出通項公式a_n，計算數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：①∵數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{k}$，k≥2，k∈N^*，
[a_n]表示不超過a_n的最大整數(shù)b_n=[a_n]，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
∴${a}_{n}=\frac{1}{k}+（n-1）×1$=n+$\frac{1}{k}-1$，
b_n=[a_n]=n-1，
∴T₄=b₁+b₂+b₃+b₄=0+1+2+3=6．
②∵數(shù)列{a_n}是公比為k+1的等比數(shù)列，
a₁=$\frac{1}{k}$，k≥2，
∴a_n=$\frac{1}{k}$•（k+1）^n-1
=$\frac{1}{k}$•（k^n-1+${C}_{n-1}^{1}$•k^n-2+${C}_{n-1}^{2}$•k^n-3+…+${C}_{n-1}^{k-1}$•k+${C}_{n-1}^{n-1}$），且b_n=[a_n]，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為：
T_n=0+1+（k+2）+（k²+3k+3）+…+（k^n-2+${C}_{n-1}^{1}$•k^n-3+${C}_{n-1}^{2}$•k^n-4+…+${C}_{n-1}^{k-1}$）
=（1+2+3+…+n-1）+（k+${C}_{3}^{2}$k+${C}_{4}^{2}$k+…+${C}_{n-1}^{2}$k）+（k²+${C}_{4}^{3}$k²+${C}_{5}^{3}$k²+…+${C}_{n-1}^{3}$k²）+…+k^n-2
=$\frac{n（n-1）}{2}$+${C}_{n}^{3}$k+${C}_{n}^{4}$k²+…+${C}_{n}^{n}$k^n-2
=${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{3}$k+${C}_{n}^{4}$k²+…+${C}_{n}^{n}$k^n-2
=$\frac{1}{{k}^{2}}$（${C}_{n}^{2}$k²+${C}_{n}^{3}$k³+${C}_{n}^{4}$k⁴+…+${C}_{n}^{n}$kⁿ）
=$\frac{1}{{k}^{2}}$[（1+k）ⁿ-nk-1]．
故答案為：①6，②$\frac{1}{{k}^{2}}$[（1+k）ⁿ-nk-1]．

點評 本題考查了等差與等比數(shù)列的應用問題，也考查了推理與計算能力，是難題．