Question

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，則x₁•x₂=（　�。�

A．2006

B．2007

C．2008

D．2009

Answer 1

分析：由題意可得，x₁是函數(shù)y=

2009

x

和y=lgx交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，x₂ 是函數(shù)y=

2009

x

和y=10^x的圖象的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．由于函數(shù)y=10^x和y=lgx互為反函數(shù)，故線(xiàn)段MN的中點(diǎn)G在直線(xiàn)y=x上．由于M（x₁，

2009

x1

），N（x₂，

2009

x2

），G（

x1+x2

2

，

2009 x1 + 2009 x2

2

），可得 

x1+x2

2

=

2009 x1 + 2009 x2

2

，由此求得 x₁•x₂ 的值．

解答：解：已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，則x₁是函數(shù)y=

2009

x

 和y=lgx交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，
x₂ 是函數(shù)y=

2009

x

和y=10^x的圖象的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．
由于 函數(shù)y=10^x和y=lgx互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，故M、N兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
即線(xiàn)段MN的中點(diǎn)G在直線(xiàn)y=x上．
由于M（x₁，

2009

x1

），N（x₂，

2009

x2

），G（

x1+x2

2

，

2009 x1 + 2009 x2

2

），
∴

x1+x2

2

=

2009 x1 + 2009 x2

2

，∴x₁•x₂=2009，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象間的關(guān)系，屬于中檔題．