解答:解:(Ⅰ)∵a=1,∴f(x)=x
3+x
2-x+2,
∴f′(x)=3x
2+2x-1,∴k=f′(1)=4,又f(1)=3,所有切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).
∴所求切線方程為y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.
(Ⅱ)f′(x)=3x
2+2ax-a
2=(x+a)(3x-a)由f′(x)=0,得x=-a或x=
.
(1)當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)<0,得-a<x<
;由f′(x)>0,得x<-a或x>
,
此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-a,
),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a)和(
,+∞).
(2)當(dāng)a<0時(shí),由f′(x)<0,得
<x<-a;由f′(x)>0,得x<
或x>-a.
此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
,-a),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,
)和(-a,+∞).
綜上:當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-a,
),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a)和(
,+∞);
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
,-a),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,
)和(-a,+∞).
(Ⅲ)依題意x∈(0,+∞),不等式2xlnx≤f′(x)+a
2+1恒成立,
等價(jià)于2xlnx≤3x
2+2ax+1在(0,+∞)上恒成立,可得a≥lnx-
x-
在(0,+∞)上恒成立,
設(shè)h(x)=lnx-
-
,則h′(x)=
-
+
=-
.
令h′(x)=0,得x=1,x=-
(舍),當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),h′(x)<0,
當(dāng)x變化時(shí),h′(x),h(x)變化情況如下表:
x |
(0,1) |
1 |
(1,+∞) |
h′(x) |
+ |
0 |
- |
h(x) |
單調(diào)遞增 |
-2 |
單調(diào)遞減 |
∴當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值,h(x)
max=-2,∴a≥-2.
∴a的取值范圍是[-2,+∞).