Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對(duì)x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x．
（1）當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)y=f（x）（x∈R）是以T=2為周期的周期函數(shù)；
（3）解答本小題考生只需從下列三個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)寫(xiě)出結(jié)論即可（無(wú)需寫(xiě)解題步驟）．注意：考生若選擇多于一個(gè)問(wèn)題解答，則按分?jǐn)?shù)最低一個(gè)問(wèn)題的解答正確與否給分．
①當(dāng)x∈[2n-1，2n]（n∈Z）時(shí)，求f（x）的解析式．
②當(dāng)x∈[2n-1，2n+1]（其中n是給定的正整數(shù)）時(shí)，若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=kx的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
③當(dāng)x∈[0，2n]（n是給定的正整數(shù)且n≥3）時(shí)，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，由此能求出當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）的解析式．
（2）對(duì)于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），故f（2+x）=f（-x）．由y=f（x）是偶函數(shù)，能夠證明函數(shù)y=f（x）（x∈R）是以T=2為周期的周期函數(shù)．
（3）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．
解答：（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分（5分），第2小題滿(mǎn)分（5分），第3小題最多（8分）．
解（1）∵y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
又當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，-x∈[0，1]，有f（-x）=-x．
∴f（x）=-x（-1≤x≤0）．                 （5分）
（2）證明∵對(duì)于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（1+（1+x））=f（1-（1+x）），即f（2+x）=f（-x）．      （7分）
又∵y=f（x）是偶函數(shù)，
∴f（2+x）=f（x），即y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2就是它的一個(gè)周期．   （10分）
（3）依據(jù)選擇解答的問(wèn)題評(píng)分
①f（x）=2n-x（x∈[2n-1，2n]）．  （14分）
②．                                                         （16分）
③（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查周期函數(shù)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．