Question

已知橢圓，直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=
∴原點(diǎn)O到直線的距離為d=|x₁|=
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）-km×+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原點(diǎn)O到直線的距離為d==
綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，點(diǎn)O到直線AB的距離|OH|=，設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ
∴|OA|=，|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=，即時(shí)，|OA||OB|取得最小值為
分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性，可求原點(diǎn)O到直線的距離；②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論；
（2）利用三角函數(shù)表示出|OA|，|OB|，進(jìn)而可求|OA||OB|的最小值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．