Question

函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R）有如下命題：
（1）函數(shù)y=f（x）圖象關于y軸對稱．
（2）當x＞0時，f（x）是增函數(shù)，x＜0時，f（x）是減函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）的最小值是lg2．
（4）f（x）無最大值，也無最小值．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)即可．
（2）將復合函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由t=x+

1

x

≥2（x＞0）及偶函數(shù)性質(zhì)可知（3）正確．
（4）由（3）可作出判斷．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
又滿足f（-x）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱，（1）正確．
（2）x＞0時，f（x）=lg（x+

1

x

），令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，（2）不正確．
（3）∵t=x+

1

x

≥2，又f（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的最小值是lg2，（3）正確．
（4）由（3）知，（4）不正確．
故答案為：（1）（3）．

點評：本題通過多個命題來考查函數(shù)復合函數(shù)的研究方法，涉及了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值等，知識點，方法靈活，要細心耐心．