Question

已知數(shù)列和滿足：, 其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)．
（Ⅰ）對任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）對于給定的實(shí)數(shù)，試求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有成立? 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）見解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)，的取值范圍是

(1)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，由題意知，矛盾，所以不是等比數(shù)列.
(2)由題設(shè)條件知，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
(3)由題設(shè)條件得，由此入手能夠推出存在實(shí)數(shù)，使得任意正整數(shù)n,都有 ,的取值范圍為.
解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使｛｝是等比數(shù)列，
則有,
即矛盾．
所以｛｝不是等比數(shù)列．   ………………………4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232322088331326.png" style="vertical-align:middle;" />
又，所以
當(dāng)，，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)，數(shù)列｛｝是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
∴  ……………………8分
（Ⅲ）要使對任意正整數(shù)成立，
即

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，
∴的最大值為, 的最小值為,
于是，由（1）式得
當(dāng)時(shí)，由，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；
當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有,且的取值范圍是…………………………12分