Question

4．已知直角△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-3，0），直角頂點(diǎn)B（-1，-2$\sqrt{2}$），頂點(diǎn)C在x軸上．
（Ⅰ）求邊BC所在的直線的方程；
（Ⅱ）求直角△ABC的斜邊中線所在的直線的方程及斜邊中線的長度．

Answer 1

分析 （I）利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式即可得出．
（II）點(diǎn)C在x軸上，又x-$\sqrt{2}$y-3=0．可得C（3，0）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得斜邊AC的中點(diǎn)．可得直角△ABC的斜邊中線OB的方程及其|OB|．

解答 解：（Ⅰ）依題意，直角△ABC的直角頂點(diǎn)為B（-1，-2$\sqrt{2}$），
∴AB⊥BC，故k_AB•k_BC=-1，∴k_BC=$\frac{-1}{\frac{-2\sqrt{2}-0}{-1-（-3）}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BC邊所在的直線的方程為y+2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1），
即x-$\sqrt{2}$y-3=0．
（Ⅱ）∵點(diǎn)C在x軸上，又x-$\sqrt{2}$y-3=0．
由y=0，得x=3，即C（3，0）．
∴斜邊AC的中點(diǎn)為（0，0），
故直角△ABC的斜邊中線為OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
設(shè)直線OB：y=kx，把B代入，得k=2$\sqrt{2}$．
∴直角△ABC的斜邊中線OB的方程為y=2$\sqrt{2}$x．
斜邊中線的長度|OB|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-2\sqrt{2}）^{2}}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．