Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，且

OG

=4

OF

，其中O是坐標原點，以G為圓心且與拋物線C有且只有兩個交點的圓的方程為（　�。�

• A、x²+（y-2p）²=3p²
• B、（x-2p）²+y²=3p²
• C、x²+（y-2p）²=p²
• D、（x-2p）²+y²=p²

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出G的坐標，再設以G為圓心的圓的方程為x²+（y-2p）²=r²，將x²=2py代入，整理，根據(jù)以G為圓心且與拋物線C有且只有兩個交點，可得△=4p²-4（4p²-r²）=0，由此可求圓的半徑，即可得到結論．

解答： 解：∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，且

OG

=4

OF

，
∴G（0，2p），
設以G為圓心的圓的方程為x²+（y-2p）²=r²，
將x²=2py代入，整理可得y²-2py+4p²-r²=0
∵以G為圓心且與拋物線C有且只有兩個交點，
∴△=4p²-4（4p²-r²）=0，
∴r²=3p²，
∴以G為圓心的圓的方程為x²+（y-2p）²=3p²．
故選：A．

點評：本題考查圓的方程，考查圓與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．