Question

已知函數(shù)y=

2x

x2+1

-3的值域?yàn)榧�合A，函數(shù)y=[kx2+(2k-4)x+k-4]-

1

2

的定義域?yàn)榧�合B，若A∪B=B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：先利用根判別式法求出函數(shù)y=

2x

x2+1

-3的值域得到集合A；對(duì)參數(shù)k分類討論：若k=0時(shí)，若k＞0時(shí)，若k＜0時(shí)，解得：B=(-1+

4

k

，-1)，最后利用A∪B=B，的充要條件A⊆B，得到關(guān)于k的不等關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：∵y=

2x

x2+1

-3，∴（y+3）x²-2x+y+3=0
當(dāng)y≠-3時(shí)，∵x∈R，∴4-4（y+3）²≥0∴-4≤y＜-3或-3＜y≤2
當(dāng)y=-3時(shí)，x=0∴A=[-4，-2]…（4分）
若k=0時(shí)，則y=(-4x-4)-

1

2

由-4x-4＞0，解得B=（-∞，-1）
此時(shí)A∪B=B成立．…（6分）
若k＞0時(shí)，由kx²+（2k-4）x+k-4＞0
解得：B=(-∞，-1)∪(-1+

4

k

，+∞)
此時(shí)A∪B=B成立．…（8分）
若k＜0時(shí)，由kx²+（2k-4）x+k-4＞0
解得：B=(-1+

4

k

，-1)，∵A∪B=B，∴A⊆B，
即-1+

4

k

＜-4，∴-

4

3

＜k＜0…（11分）
綜合所述，k＞-

4

3

為所求．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查集合之間的關(guān)系、冪函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．