已知f(x)=
x2+1
-1
x
(x＞0)數(shù)列{an}滿足a1=a＞0且an=f-1（an+1），
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)；
（2）求證：an≤(
1
2
)n-1a；
（3）若a=1試比較an與2-n的大�。�
分析：（1）根據(jù)反函數(shù)的求法步驟知，先用y來表示x，同時得到y(tǒng)的取值范圍即可．
（2）利用放縮法得到an＞2an+1即
an+1
an
＜
1
2
，將不等式代入an=(
an
an-1
•
an-1
an-2
…
a2
a1
)•a1中即可得到結(jié)論．
（3）由an=
2an+1
1-
a
n+1
2
變形an=
2an+1
1-
a
2
n+1
＜
2an+1
1-an+1
?
1
an
＞
1
2an+1
-
1
2
，即
1
an+1
+1＜2(
1
an
+1)∴
1
an
+1＜2n-1(
1
a1
+1)=2n，再化簡得an＞2-n．
解答：解：（1）由y=
x2+1
-1
x
得x=
2y
1-y2
＞0?0＜y＜1
所以y=f（x）的反函數(shù)為f-1(x)=
2x
1-x2
(0＜x＜1)
（2）∵an+1=f（an）∴an=f-1（an+1）即an=
2an+1
1-
a
2
n+1

由a1=a＞0可得0＜an+1＜1
故an=
2an+1
1-
a
2
n+1
＞2an+1∴
an+1
an
＜
1
2

當n≥2時，an=(
an
an-1
•
an-1
an-2
… 
a2
a1
)•a1≤(
1
2
)n-1a
（3）∵0＜an+1＜1∴an=
2an+1
1-
a
2
n+1
＜
2an+1
1-an+1
?
1
an
＞
1
2an+1
-
1
2

即
1
an+1
＜
2
an
+1∴
1
an+1
+1＜2(
1
an
+1)∴
1
an
+1＜2n-1(
1
a1
+1)=2n
∴an＞
1
2n-1
＞
1
2n
=2-n即an＞2-n．
點評：此題考查了反函數(shù)的求法，和放縮法在不等式中的應(yīng)用．在運用放縮法時關(guān)鍵要注意不等關(guān)系．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=x2-(a+
1
a
)x+1
（Ⅰ）當a=
1
2
時，解不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）≤0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
x2(x＞0)
e(x=0)
0(x＜0)
，則f{f[f（-2）]}=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
x2，x＞0
f(x+1)，x≤0
則f(2)+f(-1)=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對定義域中任意x，均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱；
（1）已知f(x)=
x2-mx+1x
的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，求實數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=-2x-n（x-1），求函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的條件下，若對實數(shù)x＜0及t＞0，恒有g(shù)（x）+tf（t）＞0，求正實數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=x2，g(x)=(
1
2
)x-m，若對任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則實數(shù)m的取值范圍是
m≥
1
4
m≥
1
4
．

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