已知
a
=(cosx,-sin2x),
b
=(6sinx+
3
cosx,
3
)
,函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;
(2)若x∈[0,
12
]
,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值,并指出最大值和最小值時相應(yīng)的x的值.
分析:(1)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合二倍角公式,輔助角公式,化簡函數(shù),周期利用正弦函數(shù)的性質(zhì),即可求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)由(1)知,f(x)在[0,
π
6
]上單調(diào)遞增,在[
π
6
,
12
]上單調(diào)遞減,從而可得函數(shù)的最值.
解答:解:(1)∵
a
=(cosx,-sin2x),
b
=(6sinx+
3
cosx,
3
)

∴函數(shù)f(x)=
a
b
=3sin2x+
3
cos2x=2
3
sin(2x+
π
6
)(x∈R)
∴T=
2

π
2
+2kπ
≤2x+
π
6
2
+2kπ
(k∈Z)
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[
π
6
+kπ,
3
+kπ
](k∈Z)
(2)由(1)知,f(x)在[0,
π
6
]上單調(diào)遞增,在[
π
6
,
12
]上單調(diào)遞減
∴x=
π
6
時,f(x)有最大值f(
π
6
)=2
3

∵f(0)=
3
>f(
12
)=0
∴x=
12
時,函數(shù)有最小值f(
12
)=0
點評:本題考查向量知識的運用,考查三角函數(shù)的化簡,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx-sinx,2cosx)
,設(shè)f(x)=
a
b

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期,并寫出f(x)的減區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時,求函數(shù)f(x)的最大值及最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知已知
a
=(cosx,sinx),
b
=(sinx,cosx)
,記f(x)=
a
b
,要得到函數(shù)y=sin2x-cos2x的圖象,只須將y=f(x)的圖象( 。
A、向右平移
π
4
個單位
B、向右平移
π
2
個單位
C、向左平移
π
4
個單位
D、向左平移
π
2
個單位

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(cosx,sinx),
b
=(cosx+
3
sinx,
3
cosx-sinx)
,f(x)=
a
b

(1)求f(x)的解析式及其最小正周期;
(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•深圳二模)已知
a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx-sinx,2cosx)
,設(shè)f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-
π
4
,
π
4
]
時,求函數(shù)f(x)的最大值,并指出此時x的值.

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