【題目】已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點為F,P是拋物線Γ上一點,且在第一象限,滿足(2,2)
(1)求拋物線Γ的方程;
(2)已知經(jīng)過點A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點,經(jīng)過定點B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點L,問直線NL是否恒過定點,如果過定點,求出該定點,否則說明理由.
【答案】(1)y2=4x;;(2)直線NL恒過定點(﹣3,0),理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的方程,求得焦點F(,0),利用(2,2),表示點P的坐標,再代入拋物線方程求解.
(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因為A(3,﹣2),B(3,﹣6)在這兩條直線上,分別代入兩直線的方程可得y1y2=12,然后表示直線NL的方程為:y﹣y1(x),代入化簡求解.
(1)由拋物線的方程可得焦點F(,0),滿足(2,2)的P的坐標為(2,2),P在拋物線上,
所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;
(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,
直線MN的斜率kMN,
則直線MN的方程為:y﹣y0(x),
即y①,
同理可得直線ML的方程整理可得y②,
將A(3,﹣2),B(3,﹣6)分別代入①,②的方程
可得,消y0可得y1y2=12,
易知直線kNL,則直線NL的方程為:y﹣y1(x),
即yx,故yx,
所以y(x+3),
因此直線NL恒過定點(﹣3,0).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,拋物線的頂點在原點,且該拋物線經(jīng)過點,其焦點在軸上.
(Ⅰ)求過點且與直線垂直的直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線交拋物線于,兩點,,求的最小值.
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【題目】已知橢圓的長軸為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知點,若點為橢圓上一動點(不同于點、)直線.設(shè)直線的方程為,直線與直線、、分別交于、、三點,試問:是否存在實數(shù),使得恒成立?若存在,請求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節(jié)目, 兩隊各有六名選手參賽,將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成莖葉圖如圖所示,為了增加節(jié)目的趣味性,主持人故意將隊第六位選手的成績沒有給出,并且告知大家隊的平均分比隊的平均分多4分,同時規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分,則獲得“晉級”.
(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),求出隊第六位選手的成績;
(2)主持人從隊所有選手成績中隨機抽2個,求至少有一個為“晉級”的概率;
(3)主持人從兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個,記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】某公司準備加大對一項產(chǎn)品的科技改造,經(jīng)過充分的市場調(diào)研與模擬,得到x,y之間的一組數(shù),其中x(單位:百萬元)是科技改造的總投入,y(單位:百萬元)是改造后的額外收益
x | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
y | 5 | 8 | 12 | 14 | 16 |
其中,,是對當?shù)?/span>GDP的增長貢獻值.
(1)若從五組數(shù)據(jù)中任取兩組,求至少有一組滿足的概率;
(2)對于表中數(shù)據(jù),甲、乙兩個同學給出的擬合直線方程為:,,試用最小二乘法判斷哪條直線的擬合程度更好.(附:;Q越小擬合度越好.)
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【題目】已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長為1.M是底面△ABC內(nèi)部一個動點(包括邊界),且M到三個側(cè)面PAB,PBC,PAC的距離h1,h2,h3成單調(diào)遞增的等差數(shù)列,記PM與AB,BC,AC所成的角分別為α,β,γ,則下列正確的是( )
A.α=βB.β=γC.α<βD.β<γ
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【題目】在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為:為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標方程與曲線的普通方程;
(2)將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線,若,分別是曲線和曲線上的動點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.
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