Question

6．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）為平面上不共線的三點(diǎn)，則三角形ABC的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|
• B． $\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&{1}\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&{1}\\{{x}_{3}}&{{y}_{3}}&{1}\end{array}|$
• C． $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$|
• D． $\frac{1}{2}$（cos|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|）

Answer 1

分析 △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且按逆時(shí)針?lè)较蚺帕�，分別過(guò)A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為M${{\;}_{1}}^{\;}$，M₂，M₂，過(guò)A作x軸平行線，分別交M₂B，M₃C于Q₂，Q₃，設(shè)AB=ρ₁，AC=ρ₂，∠BAC=θ，∠Q₂AB=θ₁，∠Q₃AC=θ₂，則θ=θ₂-θ₁，ρ₁cosθ₁=AQ₂=M₁M₂=x₂-x₁，由此能求出△ABC的面積可以表示為S=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&{1}\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&{1}\\{{x}_{3}}&{{y}_{3}}&{1}\end{array}|$．

解答 解：如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
C（x₃，y₃），
且按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?br />分別過(guò)A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為M${{\;}_{1}}^{\;}$，M₂，M₂，
過(guò)A作x軸平行線，分別交M₂B，M₃C于Q₂，Q₃，
設(shè)AB=ρ₁，AC=ρ₂，∠BAC=θ，∠Q₂AB=θ₁，∠Q₃AC=θ₂，
則θ=θ₂-θ₁，
ρ₁cosθ₁=AQ₂=M₁M₂=x₂-x₁，
ρ₁sinθ₁=Q₂B=y₂-y₁=$\frac{1}{2}[（{x}_{2}-{x}_{1}）（{y}_{3}-{y}_{1}）-（{y}_{2}-{y}_{1}）（{x}_{3}-{x}_{1}）]$
=$\frac{1}{2}$（x₁y₂+x₂y₃+x₃y₁-x₁y₃-x₂y₁-x₃y₂），
又∵x₁y₂z₁+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂-x₁y₃z₂-x₂y₁z₃-x₃y₂z₁，
∴△ABC的面積可以表示為S=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&{1}\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&{1}\\{{x}_{3}}&{{y}_{3}}&{1}\end{array}|$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的表示，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意行列式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．