Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=
（1）證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（1）由于函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，f（﹣x）===﹣f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由于f（x）===1﹣，設(shè)x1＜x2 ， 則＜，
根據(jù)f（x1）﹣f（x2）=[1﹣]﹣[1﹣]=﹣
==＜0，∴f（x1）＜f（x2），
故函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）在[1，2]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為．
【解析】（1）由條件利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，可得結(jié)論．
（2）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，可得結(jié)論．
（3）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在[1，2]上的最值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性，以及對(duì)三角函數(shù)的最值的理解，了解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．