Question

已知A、B分別為橢圓x²+

y2

2

=1的左右頂點(diǎn)，P是橢圓上第一象限的任一點(diǎn)，若∠PAB=α，∠PBA=β，則必有（　　）

• A、2tanα+cotβ=0
• B、2tanα-cotβ=0
• C、tanα+2cotβ=0
• D、tanα-2cosβ=0

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓x²+

y2

2

=1，∠PAB=α，∠PBA=β，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出tanα，cotβ結(jié)合選項(xiàng)，化簡即可．

解答： 解：∵橢圓x²+

y2

2

=1，∠PAB=α，∠PBA=β，設(shè)p（cosθ，

2

sinθ），θ∈（0，

π

2

）．
∴tanα=

2 sinθ

1+cosθ

，cotβ=

1-cosθ

2 sinθ

，
∴tanα-2cosβ=

2 sinθ

1+cosθ

-

2(1-cosθ)

2 sinθ

=

2 sinθ

1+cosθ

-

2(1-cosθ)sinθ

2 sinθsinθ

=

2 sinθ

1+cosθ

-

2 (1-cosθ)sinθ

1-cos2θ

=

2 sinθ

1+cosθ

-

2 sinθ

1+cosθ

=0．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．