【題目】如圖,數(shù)軸x、y的交點(diǎn)為O,夾角為,與x軸、y軸正向同向的單位向量分別是,,由平面向量基本定理,對(duì)于平面內(nèi)的任一向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使得,我們把叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)(以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo))
(1)若,為單位向量,且與的夾角為120°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為,求向量與的夾角;
(3)若,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn),求原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合為單位向量,且與的夾角為120°,列等式求解即可;
(2)由題意求出,的值,再結(jié)合向量的夾角公式求解即可;
(3)由題意得到點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)的距離公式求解即可.
解:(1)當(dāng),為單位向量,且與的夾角為120°,
設(shè),則,且,
即,代入運(yùn)算可得,即;
(2)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則,
則,
即,
又,
設(shè)向量與向量的夾角為,則,
即向量與的夾角為;
(3)當(dāng),直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為,由題意可得,即點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為,
又因?yàn)橹本l經(jīng)過(guò)點(diǎn),
則原點(diǎn)O到直線l的距離取最大值時(shí),直線l與垂直,且交于點(diǎn),
即原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為1.
正方體中哪些棱所在的直線與直線是異面直線?
若M,N分別是 ,的中點(diǎn),求異面直線MN與BC所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在, 兩家餐廳用餐的滿意度,從在, 兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.
整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組: , , , , , ,得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:
定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下:
分?jǐn)?shù) | |||
滿意度指數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對(duì)餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù);
(Ⅱ)從該校在, 兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(Ⅲ)如果從, 兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的離心率為,且
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B且線段AB的中點(diǎn)在圓上,求m的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了選拔學(xué)生參加全市中學(xué)生物理競(jìng)賽,學(xué)校先從高三年級(jí)選取60名同學(xué)進(jìn)行競(jìng)賽預(yù)選賽,將參加預(yù)選賽的學(xué)生成績(jī)(單位:分)按范圍,,,分組,得到的頻率分布直方圖如圖:
(1)計(jì)算這次預(yù)選賽的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若對(duì)得分在前的學(xué)生進(jìn)行校內(nèi)獎(jiǎng)勵(lì),估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線;
(3)若這60名學(xué)生中男女生比例為,成績(jī)不低于60分評(píng)估為“成績(jī)良好”,否則評(píng)估為“成績(jī)一般”,試完成下面列聯(lián)表,是否有的把握認(rèn)為“成績(jī)良好”與“性別”有關(guān)?
成績(jī)良好 | 成績(jī)一般 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
附:,
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與圓交于,兩點(diǎn).
(1)若圓心到直線的距離為,求的值;
(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了有關(guān)特殊幾何體的定義:陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,塹堵指底面是直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.
(1)某塹堵的三視圖,如圖1,網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,求該塹堵的體積;
(2)在塹堵中,如圖2,,若,當(dāng)陽(yáng)馬的體積最大時(shí),求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?/span>13秒與18秒之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組,,第五組.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好,求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù);
(2)設(shè)m,n表示該班某兩位同學(xué)的百米測(cè)試成績(jī),且已知求事件“”發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列幾個(gè)命題:①若,則;②“若,則互為相反數(shù)”的否命題“;③“若則”的逆命題;④“若,則互為倒數(shù)”的逆否命題. 其中真命題的序號(hào)__________.
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