Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a∈R，且a≠0）．如果存在實數(shù)a∈（-∞，-1]，使函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1處取得最小值，則實數(shù)b的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得，從而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．

解答： 解：由題意，g（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
據(jù)題知，h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
當(dāng)x=-1時，不等式①成立；
當(dāng)-1＜x≤b時，不等式①可化為ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得．
又ϕ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要條件是ϕ（b）≥0，
整理得：

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

在a∈（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤1，
∴-1＜b≤

17 -1

2

，
∴實數(shù)b的最大值為

17 -1

2

，
故答案為：

17 -1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了有關(guān)不等式恒成立的問題，對于恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解，屬于中檔題．