Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并寫出a_n與S_n的關(guān)于n的表達式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，證明：

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得2S₁+

2S2

2

+

2Sn

n

-（n-2）²=2011．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合a_n與S_n的關(guān)系即可得到結(jié)論；
（2）求出數(shù)列{

1

anan+1

}的通項公式，利用裂項法即可求出數(shù)列的前n項和為T_n，從而即可證明不等式

1

3

≤T_n＜

1

2

成立；
（3）解方程，利用一元二次方程根與判別式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n=

Sn

n

+n-1，時S_n=na_n-n²+n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-n²+n-[（n-1）a_n-1-（n-1）²+n-1]，
整理得（n-1）a_n-（n-1）a_n-1+2-2n=0，
即a_n-a_n-1=2，
則數(shù)列{a_n}為公差d=2的等差數(shù)列，則a_n=1+2（n-1）=2n-1，
則S_n=na_n-n²+n=n（2n-1）-n²+n=n²．
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，
當n=1時，T₁=

1

1×3

=

1

3

，
故

1

3

≤T_n＜

1

2

成立．
（3）∵S_n=n²，
∴若2S₁+

2S2

2

+

2Sn

n

-（n-2）²=2011，
則n²-6n+2009=0，則判別式△=36-4×2009＜0，
∴方程無解．故不存在自然數(shù)n，使得2S₁+

2S2

2

+

2Sn

n

-（n-2）²=2011．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷，以及利用裂項法進行數(shù)列求和，考查學(xué)生的計算能力．