Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿(mǎn)足條件：①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x-4）=f（2-x），且；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

【答案】分析：（1）有條件得，求出f（1）=1，再由條件求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，由函數(shù)的最小值列出方程求出a、b、c的值，代入解析式化簡(jiǎn)即可；
（2）由（1）求出g（x）化簡(jiǎn)后，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再由二次函數(shù)的單調(diào)性和條件列出不等式，求出k的值；
（3）先假設(shè)存在，對(duì)f（x）配方后，再由分離常數(shù)法把條件轉(zhuǎn)化為：，判斷出函的單調(diào)性，求出最大值和最小值，結(jié)合t求出m的最大值．
解答：解：（1）∵在R上恒成立，
∴，即f（1）=1
∵f（x-4）=f（2-x），∴函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，
∴．
∵f（1）=1，∴a+b+c=1
又∵f（x）在R上的最小值為0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由，解得，
∴；
（2）由（1）得，，
∴g（x）對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2k²-1，
∵g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
∴2k²-1≤-1或2k²-1≥1，
解得k≥1或k≤-1或k=0，
∴k的取值范圍是k≥1或k≤-1或k=0．
（3）假設(shè)存在存在t∈R滿(mǎn)足條件，
由（1）知，
∴f（x+t）≤x?（x+t+1）²≤4x且x∈[1，m]，
?在[1，m]上恒成立?
∵在[1，m]上遞減，
∴，
∵在[1，m]上遞減，
∴
∴，∴，，
∵m＞1，∴，
∴m≤9，∴m的最大值為9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及分離常數(shù)法處理恒成立問(wèn)題，第（3）問(wèn)出現(xiàn)了兩個(gè)未知數(shù)，注意結(jié)合點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化思想，難度較大．