【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,且(),設(shè)(),數(shù)列的前項和.
(1)求、、的值;
(2)利用“歸納—猜想—證明”求出的通項公式;
(3)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1),,;(2)();(3).
【解析】
(1)先代,求得,當(dāng)時,根據(jù),化簡得到與的遞推式,
再代,求得,并為求第(2)問提供基礎(chǔ);
(2)由(1)歸納猜想,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)由(2)求得的,求出,并化簡,分析,發(fā)現(xiàn)可用裂項相消法求解,
考慮消去方便,可對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析,最后合并得到答案.
解:(1)由,令,則,得,
當(dāng)時,由,得,得,
令,得,令,得,即,,.
(2)由(1)知,,,猜想,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:① 當(dāng) 時,由猜想知顯然成立;
②假設(shè)猜想成立,即,
則當(dāng)時,由(1)有,
即當(dāng)時,猜想也成立.
綜合①②可知,猜想成立,即
(3)由(2)知,當(dāng)時,,
綜合知:,又,
則
當(dāng)為偶數(shù)時,
當(dāng)為奇數(shù)時,
綜上可得
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0),拋物線E:x2=2py的焦點為M.
(1)若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點,求直線l的方程;
(2)若直線MF與拋物線C交于A,B兩點,求△OAB的面積.
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【題目】在某中學(xué)舉行的物理知識競賽中,將三個年級參賽學(xué)生的成績在進(jìn)行整理后分成5組,繪制出如圖所示的須率分布直方圖,圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組.已知第三小組的頻數(shù)是15.
(1)求成績在50-70分的頻率是多少
(2)求這三個年級參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)是多少:
(3)求成績在80-100分的學(xué)生人數(shù)是多少
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(Ⅰ)若∠APB=60°,試求點P的坐標(biāo);
(Ⅱ)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=時,求直線CD的方程.
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【題目】已知點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),,α∈(,).
(1)若,求角α的值;
(2)若,求的值.
(3)若在定義域α∈(,)有最小值,求的值.
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【題目】若函數(shù)滿足下列條件:在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì);反之,若不存在,則稱函數(shù)不具有性質(zhì).
(1)已知函數(shù)具有性質(zhì),求出對應(yīng)的的值;
(2)證明:函數(shù)一定不具有性質(zhì);
(3)下列三個函數(shù):,,,哪些恒具有性質(zhì),并說明理由
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【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,并且需要花費1天時間;生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,也需要1天時間,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為1000元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為2000元.該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙材料各,則在不超過120天的條件下,求生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值.
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【題目】風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹,記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測量P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離,現(xiàn)可測得A,B兩點間的距離為100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示.則P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離各為多少?
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【題目】如圖,四棱錐的底面ABCD為梯形,,則在面PBC內(nèi)
A. 一定存在與CD平行的直線
B. 一定存在與AD平行的直線
C. 一定存在與AD垂直的直線
D. 不存在與CD垂直的直線
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