【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是正三角形,且與底面垂直,底面是邊長為2的菱形, 的中點,過三點的平面交, 的中點,求證:

(1)平面

(2)平面;

(3)平面平面.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析

【解析】試題分析:(1)先證明四邊形是平行四邊形,得 平面 ,進而可得結(jié)論;(2)先由面面垂直的性質(zhì)可得再證 , 可得 ,可得 平面 ;(3)由2可得 ,由等腰三角形性質(zhì)得,進而由面面垂直的判定定理得結(jié)論.

試題解析:(1) 平面

平面

平面平面平面,

又因

的中點, 的中點,底面是邊長為2的菱形,

四邊形是平行四邊形,

平面

平面

(2)側(cè)面是正三角形,且與底面垂直, 的中點,

由余弦定理可得,由正弦定理可得:

可得

平面;

(3) 由(2)知平面, 平面

的中點,

平面.

平面.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.

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編號n

1

2

3

4

5

成績xn

70

76

72

70

72

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