【題目】如圖,在邊長為4的正三角形ABC中,D,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,將沿DE,EF,DF折成正四面體,則在此正四面體中,下列說法正確的是______.
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為;
;
與PD所成的角為;
與EF所成角為
【答案】
【解析】
可證明平面,可得正確;連接,取中點,異面直線與所成的角為,由余弦定理可證明正確;取中點,連接,異面與所成的角為,由余弦定理可得不對;異面與所成角的為,由余弦定理可得不對,從而可得結(jié)果.
的邊長為4,折成正四面體后,如圖
,E,F分別為各邊的中點,G,H分別為DE,AF的中點,
,;
連接FG,取中點M,可得,
異面直線PG與DH所成的角的平角為;
,
連接MD,可得.
;
在中,
余弦定理:;對;對;
取DF中點N,連接GN,NH,可得
異面GH與PD所成的角的平面角為,
由余弦定理,GH與PD所成的角不是;不對;
異面PG與EF所成角的平面角為,
由余弦定理,可得PG與EF所成角不是不對.
故答案為:.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為正方形,四邊形為直角梯形,且, ,平面平面, .
()求證: 平面.
()若二面角為直二面角,
(i)求直線與平面所成角的大。
(ii)棱上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 通項公式為 .
(Ⅰ)計算f(1),f(2),f(3)的值;
(Ⅱ)比較f(n)與1的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,底面為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=BC=1,AB=2,M為PC中點.
(Ⅰ)在圖中作出平面ADM與PB的交點N,并指出點N所在位置(不要求給出理由);
(Ⅱ)在線段CD上是否存在一點E,使得直線AE與平面ADM所成角的正弦值為 ,若存在,請說明點E的位置;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角A﹣MD﹣C的余弦值.
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【題目】已知圓C的圓心坐標且與線y=3x+4相切,
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線與圓C交于M,N兩點,那么以MN為直徑的圓能否經(jīng)過原點,若能,請求出直線MN的方程;若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,,點M在邊DC上,點F在邊AB上,且,垂足為E,若將沿AM折起,使點D位于位置,連接,得四棱錐.
Ⅰ求證:;
Ⅱ若,直線與平面ABCM所成角的大小為,求直線與平面ABCM所成角的正弦值.
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=|x﹣m|﹣1.
(1)若不等式f(x)≤2的解集為{x|﹣1≤x≤5},求實數(shù)m的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥t﹣2對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.
(1)求證:BD⊥平面ACFE;
(2)當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時,求AE的長度.
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【題目】已知橢圓 (a>b>0)的一個頂點為B(0,4),離心率e= ,直線l交橢圓于M,N兩點.
(1)若直線l的方程為y=x﹣4,求弦MN的長;
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線l方程的一般式.
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