Question

已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a₁+a₂=2(+),a₃+a₄+a₅=64(++),
(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)b_n=(a_n+)²,求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2^n-1   (2) T_n=(4ⁿ-4^1-n)+2n+1.

【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于a₁與q的方程組求得a₁與q,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)中求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求出{b_n}的通項(xiàng)公式,由其通項(xiàng)公式可知分開求和即可.
解：(1)設(shè)公比為q,則a_n=a₁q^n-1.由已知得

化簡(jiǎn)得
又a₁>0,故q=2,a₁=1,所以a_n=2^n-1.
(2)由(1)得b_n=(a_n+)²=+2+
=4^n-1++2.
所以T_n=(1+4+…+4^n-1)+(1++…+)+2n
=++2n
=(4ⁿ-4^1-n)+2n+1.