已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的橢圓C,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問(wèn)是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為            1分

則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2．                 2分

又,所以,                       3分

又由于                          4分

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為                   5分

(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),的中點(diǎn)為

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061409024935233467/SYS201306140903406180467091_DA.files/image014.png">所以所以  ①

(i)其中若時(shí),則,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得 ②            7分

則．               8分

代入①式得,即,解得               11分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是          13分

考點(diǎn)：橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交時(shí)常將直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理找到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)表示，其中要注意條件不要忽略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn)和左右焦點(diǎn)所組成的四邊形是面積為2的正方形，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△OAB面積最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•福建模擬）已知中心的坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過(guò)點(diǎn)Q(2，
3
3
)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F1
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過(guò)橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB|
|FM|
為定值，且定值是
10
3
”．命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線E，過(guò)該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的交點(diǎn)M，AB的長(zhǎng)度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)E（0，1），問(wèn)是否存在直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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（本題12分）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn)和左右焦點(diǎn)所組成的四邊形是面積為2的正方形，

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△OAB面積最大時(shí)，求直線l的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（山東） 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3,最小值為1.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)若直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

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