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設A,B分別是直線上的兩個動點,并且,動點P滿足.記動點P的軌跡為C.
(I) 求軌跡C的方程;
(Ⅱ)若點D的坐標為(0,16),M、N是曲線C上的兩個動點,且,求實數λ的取值范圍.
【答案】分析:( I) 設P(x,y),,.由,知,由,知.由此能求出曲線C的方程.
( II) 設N(s,t),M(x,y),則由,可得(x,y-16)=λ (s,t-16).故x=λs,y=16+λ (t-16).由M、N在曲線C上,知由此能求出實數λ的取值范圍.
解答:解:( I) 設P(x,y),
為A、B分別為直線上的點,
故可設,

,
,…(4分)

.…(5分)

即曲線C的方程為.…(6分)
( II) 設N(s,t),M(x,y),
則由,
可得(x,y-16)=λ (s,t-16).
故x=λs,y=16+λ (t-16).…(8分)
∵M、N在曲線C上,
…(10分)
消去s得  
由題意知λ≠0,且λ≠1,
解得.…(12分)
又|t|≤4,

解得  (λ≠1).
故實數λ的取值范圍是(λ≠1).…(14分)
點評:本題主要考查橢圓標準方程,簡單幾何性質,直線與橢圓的位置關系.考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉化思想.綜合性強,是高考的重點,容易出錯.本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識,解題時要注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
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