Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，

（1）求橢圓離心率；

（2）點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓方程；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在橢圓上且異于、兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，說明運(yùn)動(dòng)時(shí)以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）相切，證明見解析

【解析】

（1）由已知根據(jù)橢圓的定義可得，從而可得即可求解.

（2）利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，結(jié)合即可求解.

（3）設(shè)直線，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓心，分類討論或，求出直線的方程， 再利用點(diǎn)到直線的距離與半徑作比較即可證出.

（1）由已知，

（2），直線，

即

則點(diǎn)到直線的距離，

解為，，橢圓方程為

（3）以為直徑的圓與直線相切，

證明：直線

交點(diǎn)為

得，

，

，，點(diǎn)，中點(diǎn)圓心

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，直線，圓心，半徑1，與直線相切；

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)到直線的距離為半徑，得證.