Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（x+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為[0，1]．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=3^x，f（x+2）=18，得3^a=2，從而g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，
（2）設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，由2x1-2x2＜0，2x1+2x2＞1，得1-(2x1+2x2)＜0，從而g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），得函數(shù)g（x）在[0，1]單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知，函數(shù)g（x）在[0，1]單調(diào)遞減，得g（1）≤g（x）≤g（0），又g（0）=-4⁰+2⁰=0，g（1）=-4¹+2¹=-2，進而函數(shù)g（x）的值域是[-2，0]．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（x+2）=18，
∴3^a+2=18，
∴3^a=2，
∵g（x）=3^ax-4^x，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，
（2）設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，
g(x1)-g(x2)=(2x1-4x1)-(2x2-4x2)=(2x1-2x2)+(4x2-4x1)
=(2x1-2x2)[1-(2x1+2x2)]，
∵0≤x₁≤x₂≤1，
∴2x1-2x2＜0，2x1+2x2＞1，
∴1-(2x1+2x2)＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在[0，1]單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知，函數(shù)g（x）在[0，1]單調(diào)遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），
又∵g（0）=-4⁰+2⁰=0，g（1）=-4¹+2¹=-2，
∴函數(shù)g（x）的值域是[-2，0]．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的值域及解析式問題，是一道綜合題．