Question

9．已知橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，$∠A{F_1}{F_2}={30^0}，AO=O{F_2}$，該橢圓的離心率e=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 易得AF₁F₂是以A為直角定點(diǎn)的直角三角形，AF₁=2a-c，AF₂=c．由勾股定理得，（2a-c）²+c²=（2c）²⇒2ac+c²-a²=0⇒離心率e．

解答 解：A是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，$∠A{F_1}{F_2}={30^0}，AO=O{F_2}$，
∴△AF₁F₂是以A為直角定點(diǎn)的直角三角形，∴AF₁=2a-c，AF₂=c．
由勾股定理得，（2a-c）²+c²=（2c）²⇒，2ac+c²-a²=0⇒離心率e=$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的離心率，多用定義及平面幾何的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．