Question

【題目】如圖所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，側(cè)面ABB1A1為菱形，∠DAB=∠DAA1 ．
（Ⅰ）求證：A1B⊥BC；
（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，點(diǎn)D在平面ABB1A1上的射影恰為線段A1B的中點(diǎn)，求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AB1、A1D、BD，設(shè)AB1交A1B于點(diǎn)O， 連OD，如圖所示．

由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1 ， 可得△AA1D≌△ABD，
所以A1D=BD，
由于O是線段A1B的中點(diǎn)，所以DO⊥A1B，
又根據(jù)菱形的性質(zhì)知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，
所以A1B⊥AD，又因?yàn)锳D∥BC，所以A1B⊥BC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1 ，
又由題意知DO⊥平面ABB1A1 ，
故可分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)AD=AB=3BC=3a，
由∠A1AB=60°知 ，|OA|=|OB1|= ，
所以|OD|= = ，
從而A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），B1（0， ，0），D（0，0， ），
所以 ．
由 = ，得 ，所以 ．
設(shè)平面DCC1D1的一個(gè)法向量為 =（x0 ， y0 ， z0），
由 ，得 ，
取y0=1，則 ， ，所以 =（ ）．
又平面ABB1A1的法向量為 ，
所以 ．
故平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小為 ．
【解析】（Ⅰ）連接AB1、A1D、BD，設(shè)AB1交A1B于點(diǎn)O，連OD，推導(dǎo)出△AA1D≌△ABD，從而DO⊥A1B，由菱形的性質(zhì)知AO⊥A1B，從而A1B⊥平面ADO，進(jìn)而A1B⊥AD，再由AD∥BC，能證明A1B⊥BC．（Ⅱ）分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．