Question

17．已知函數(shù)f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函數(shù)，函數(shù)$g（x）=|{{e^x}-a}|+\frac{a^2}{2}$，當x∈[0，ln3]時，函數(shù)g（x）的最大值M與最小值m的差為$\frac{3}{2}$，則a=（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函數(shù)，可得f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立，從而f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，進而可得參數(shù)的范圍；利用$g（x）=|{{e^x}-a}|+\frac{a^2}{2}$，當x∈[0，ln3]時，函數(shù)g（x）的最大值M與最小值m的差為$\frac{3}{2}$，可求參數(shù)的值，從而可得結(jié)論．

解答 解：因為函數(shù)f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函數(shù)，
所以f'（x）=a-1-lnx≥0在（0，e）上恒成立，即a-2≥0，即a≥2；
因為$g（x）=|{{e^x}-1}|+\frac{a^2}{2}=\left\{{\begin{array}{l}{a-{e^x}+\frac{a^2}{2}，0≤x≤lna}\\{{e^x}-1+\frac{a^2}{2}，x≥lna}\end{array}}\right.$，
若lna≥ln3，即a≥3時，g（x）在[0，ln3]單調(diào)遞減，則M-m=g（0）-g（ln3）=2（舍），
當lna＜ln3，即2≤a＜3時，函數(shù)g（x）在[0，lna]上遞減，在[lna，ln3]上遞增，且g（0）-g（ln3）=2a-4≥0，所以$M-m=g（0）-g（lna）=\frac{3}{2}$，
即$（a-1+\frac{a^2}{2}）-\frac{a^2}{2}=a-1=\frac{3}{2}$，
解得$a=\frac{5}{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的確定，其中確定函數(shù)g（x）的最大值M與最小值m是關(guān)鍵．