Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，其中為常數(shù).

（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）將代入已知等式即可求得的值；利用作差法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得及，構(gòu)造新函數(shù)，進(jìn)而可得其最大項(xiàng)的值，從而可得k的取值范圍.

（1）由題意，數(shù)列滿足，

令，可得，

又由，解得.

因?yàn)?/span>，則

兩式相減，可得，整理得，

所以數(shù)列是以首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由（1）可得，

所以，

因?yàn)?/span>恒成立，即恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，所以數(shù)列最大項(xiàng)的值為，

所以，即k的取值范圍為.