【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓E:的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為、.設(shè)直線傾斜角的余弦值為,圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)若圓的面積為,求圓的方程.
【答案】(1) (2)直線與圓相切,理由見(jiàn)解析 (3)
【解析】
(1)根據(jù)直線的傾斜角的余弦值為,求出a,b的等量關(guān)系即可求解離心率;
(2)通過(guò)計(jì)算可得直線與以為直徑的圓相切,所以直線與圓相切;
(3)根據(jù)面積求出半徑,依次列方程組求解參數(shù)的值.
解:(1)設(shè)橢圓E的焦距為2c(c>0),
因?yàn)橹本的傾斜角的余弦值為,所以,
于是,即,所以橢圓E的離心率
(2)由可設(shè),,則,
于是的方程為:,
故的中點(diǎn)到的距離,
又以為直徑的圓的半徑,即有,所以直線與以為直徑的圓相切.
因?yàn)閳A與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對(duì)稱,
所以直線與圓相切.
(3)由圓的面積為知,圓半徑為2,從而,
設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線:的對(duì)稱點(diǎn)為,
則解得.
所以,圓的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,,,平面PAB,D,E分別是AC,BC上的點(diǎn),且平面PAB.
(1)求證平面PDE;
(2)若D為線段AC中點(diǎn),求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD//平面BCC1B1,AD⊥DB.求證:
(1)BC//平面ADD1A1;
(2)平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(2b﹣c)cosA=acosC.
(1)求角A;
(2)若△ABC的外接圓面積為π,求△ABC的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)元;重量超過(guò)的包裹,除收費(fèi)元之外,超過(guò)的部分,每超出(不足,按計(jì)算)需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下:
包裹重量(單位: ) | |||||
包裹件數(shù) |
公司對(duì)近天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表:
包裹件數(shù)范圍 | |||||
包裹件數(shù) (近似處理) | |||||
天數(shù) |
以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.
(1)計(jì)算該公司未來(lái)天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率;
(2)(i)估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值;
(ii)公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn),剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人,每人每天攬件不超過(guò)件,工資元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減人,試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望,并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),g(x)=b(x﹣1),其中a≠0,b≠0
(1)若a=b,討論F(x)=f(x)﹣g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大型企業(yè)生產(chǎn)的某批產(chǎn)品細(xì)分為個(gè)等級(jí),為了了解這批產(chǎn)品的等級(jí)分布情況,從倉(cāng)庫(kù)存放的件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)、分類(lèi)和統(tǒng)計(jì),并依據(jù)以下規(guī)則對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行打分:級(jí)或級(jí)產(chǎn)品打分;級(jí)或級(jí)產(chǎn)品打分;級(jí)、級(jí)、級(jí)或級(jí)產(chǎn)品打分;其余產(chǎn)品打分.現(xiàn)在有如下檢測(cè)統(tǒng)計(jì)表:
等級(jí) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
頻數(shù) | 10 | 90 | 100 | 200 | 200 | 100 | 100 | 100 | 70 | 30 |
規(guī)定:打分不低于分的為優(yōu)良級(jí).
(1)①試估計(jì)該企業(yè)庫(kù)存的件產(chǎn)品為優(yōu)良級(jí)的概率;
②請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)庫(kù)存的件產(chǎn)品的平均得分.
(2)從該企業(yè)庫(kù)存的件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件,請(qǐng)估計(jì)這件產(chǎn)品的打分之和為分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,
(1)若,且是的極大值點(diǎn),求的取值范圍;
(2)當(dāng),時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)根,求正數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)令,若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;
(3)當(dāng) 時(shí),函數(shù) 的圖象與軸交于兩點(diǎn) ,且 ,又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù) 滿足條件.證明:.
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