Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（）+2cos²x-．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量與共線，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（x）的解析式先利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并后，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）利用（1）化簡(jiǎn)得到的f（x）化簡(jiǎn)f（C）=2，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)，再由兩向量共線，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，利用正弦定理得到a與b的關(guān)系式，由c及cosC的值，利用余弦定理即可得到關(guān)于a與b的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可求出a與b的值．
解答：解：（1）f（x）=2sin²（）+2cos²x-
=2×+2×-
=（sin2x+1）+cos2x+1-
=sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+）+1，
∴最小正周期T==π，
∵正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]，
∴2kπ-≤2x+≤2kπ+，
解得：-+kπ≤x≤+kπ，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[-+kπ，+kπ]；
（2）∵f（C）=2sin（2C+）+1=2，
∴sin（2C+）=，又C為三角形的內(nèi)角，
∴C=，
又∵向量與共線，
∴sinB=2sinA，
根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得：b=2a①，又c=3，
根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=a²+b²-ab=9②，
聯(lián)立①②解得a=，b=2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦、余弦定理以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．