已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(c>0)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示:
(1)求a,b;
(2)令g(x)=
f(x)x
,求y=g(x)在[1,2]上的最大值.
分析:(1)先求出f′(x)=2ax+b,根據(jù)圖象可得f′(x)=2x+1,由此可得a,b的方程組;
(2)由(1)先求出g(x),從而可得g′(x)=
(x+
c
)(x-
c
)
x2
,分
c
≤1,1<
c
<2,
c
≥2三種情況進(jìn)行討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系可得最大值;
解答:解:(1)因?yàn)閒′(x)=2ax+b,由圖可知,f′(x)=2x+1,
2a=2
b=1
,解得
a=1
b=1
,
(2)g(x)=
f(x)
x
=
x2+x+c
x
=x+
c
x
+1,則g′(x)=1-
c
x2
=
(x+
c
)(x-
c
)
x2

①若
c
≤1,即0<c≤1時(shí),g′(x)≥0,g(x)在[1,2]上遞增,
故g(x)max=g(2)=
1
2
c+
3;
②若1<
c
<2,即1<c<4,
當(dāng)1≤x<
c
時(shí),g′(x)<0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)
c
<x≤2時(shí),g′(x)>0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增;
又g(1)=c+2,g(2)=
1
2
c
+3,
所以當(dāng)1≤c≤2時(shí),g(1)≤g(2),即g(x)max=g(2)=
1
2
c
+3;
當(dāng)2<x≤4時(shí),g(1)>g(2),即g(x)max=g(1)=c+2;
③若
c
≥2,即c≥4時(shí),g′(x)≤0,g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,
故g(x)max=g(1)=c+2;
綜上所述,g(x)max=
1
2
c+3,0<c≤2
c+2,c>2
;
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)解析式的求法,考分類討論思想,屬中檔題.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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