【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn):,(為參數(shù)),將曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的后得到曲線(xiàn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為。
(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)M為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),求的值。
【答案】(1),(2)
【解析】
(1)由曲線(xiàn)的參數(shù)方程得到普通方程,經(jīng)變化后得到曲線(xiàn):,化為極坐標(biāo)即可,利用兩角差的正弦公式可得直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,進(jìn)而可化為直角坐標(biāo)方程;(2)寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程,將直線(xiàn)代入到圓的方程中,利用參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理即可得結(jié)果.
解:(1)將曲線(xiàn):(為參數(shù)),消參得,
經(jīng)過(guò)伸縮變換后得曲線(xiàn):,
化為極坐標(biāo)方程為,
將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,即,
化為直角坐標(biāo)方程為.
(2)由題意知在直線(xiàn)上,又直線(xiàn)的傾斜角為,
所以直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))
設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,
將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入中,得.
因?yàn)?/span>在內(nèi),所以恒成立,
由韋達(dá)定理得
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)對(duì)任意的,均有,則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).
(1)判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì),并證明:①();②;
(2)若函數(shù)具有性質(zhì),且(,),
①求證:對(duì)任意,有;
②是否對(duì)任意,均有?若有,給出證明,若沒(méi)有,給出反例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)習(xí)小組在研究性學(xué)習(xí)中,對(duì)晝夜溫差大小與綠豆種子一天內(nèi)出芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究.該小組在4月份記錄了1日至6日每天晝夜最高、最低溫度(如圖1),以及浸泡的100顆綠豆種子當(dāng)天內(nèi)的出芽數(shù)(如圖2).
根據(jù)上述數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,可知綠豆種子出芽數(shù) (顆)和溫差 ()具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.
(1)求綠豆種子出芽數(shù) (顆)關(guān)于溫差 ()的回歸方程;
(2)假如4月1日至7日的日溫差的平均值為11,估計(jì)4月7日浸泡的10000顆綠豆種子一天內(nèi)的出芽數(shù).
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】本題滿(mǎn)分14分)
在數(shù)列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表達(dá)式,并加以證明;
(Ⅱ) 設(shè),求證:對(duì)任意的自然數(shù),都有;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求當(dāng)時(shí),在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(2,0)且與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B,直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D,E是直線(xiàn)上異于D的任意一點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線(xiàn)BE是否恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)?若過(guò),求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某樂(lè)園按時(shí)段收費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:每玩一次不超過(guò)小時(shí)收費(fèi)10元,超過(guò)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元(不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙二人參與但都不超過(guò)小時(shí),甲、乙二人在每個(gè)時(shí)段離場(chǎng)是等可能的。為吸引顧客,每個(gè)顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)。
(1) 用表示甲乙玩都不超過(guò)小時(shí)的付費(fèi)情況,求甲、乙二人付費(fèi)之和為44元的概率;
(2)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是:顧客通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù),并按如右所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則該顧客中獎(jiǎng);若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng),求顧客中獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,將繞邊AB翻轉(zhuǎn)至,使面面ABC,D是BC的中點(diǎn),設(shè)Q是線(xiàn)段PA上的動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)PC與DQ所成角取得最小值時(shí),線(xiàn)段AQ的長(zhǎng)度為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是菱形,,與交于點(diǎn),底面,為的中點(diǎn),.
(1)求證: 平面;
(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值;
(3)求與平面所成角的正弦值.
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